664 311 737 Warszawa Bemowo
Matura sierpień 2019. (2pkt) Rozwiąż nierówność 2{{x}^{2}}-5x+3le 0 .
Uwaga: W tym zadaniu zauważyć trzeba, że po lewej stronie nierówności mamy funkcję kwadratową. Dodatkowo pamiętać należy o tym, że w przypadku nierówności kwadratowej dobrym krokiem będzie przedstawienie naszej funkcji w układzie współrzędnych.
Rozwiązanie
Krok 1. Wyznaczamy deltę (wzór znajdziemy w karcie wzorów).
Delta ={{b}^{2}}-4ac={{left( {-5} right)}^{2}}-4cdot 2cdot 3=1
sqrt{Delta }=1
Krok 2. Obliczamy miejsca zerowe (wzory znajdziemy w karcie wzorów).
{{x}_{1}}=-frac{{b-sqrt{Delta }}}{{2a}}=frac{{5-1}}{4}=frac{4}{4}=1
{{x}_{2}}=frac{{-b-sqrt{Delta }}}{{2a}}=frac{{5+1}}{4}=frac{6}{4}=frac{3}{2}
Krok 3. Rysujemy wykres funkcji. Wykresem będzie parabola skierowana ramionami do góry (bo, a>0).
Krok 4. Podanie odpowiedzi. Następnie musimy podać odpowiedź. Rozwiązaniem będzie tutaj przedział. Do wyboru mamy dwie opcje, albo zewnętrzny albo wewnętrzny przedział. Aby być pewnym, że wybierzemy odpowiedni przedział najlepiej wziąć dowolny punkt (inny niż miejsca zerowe), najlepiej 0 lub 1 i sprawdzić czy spełnia naszą nierówność. Weźmy sobie punkt 0, który leży na zewnątrz paraboli.
{{2cdot 0}^{2}}-5cdot 0+3le 0
3le 0
Nierówność wychodzi nam nieprawdziwa, więc odpowiedzią będzie zbiór, w którym nie znajduje się 0, czyli przedział wewnętrzny.
Uwaga: Należy pamiętać, aby uwzględnić czy punkty skrajne (u nas 1 i 1,5) należą do rozwiązania czy nie. Jeśli w nierówności były znaki < lub > to wtedy punkty skrajne nie wchodzą do rozwiązania. W przypadku innych znaków (mniejsze równe lub większe równe) punkty skrajne wchodzą do rozwiązania.
Odp. xin left( {1;frac{3}{2}} right) .
Matura sierpień 2018. (2 pkt) Rozwiąż nierówność $ {{x}^{2}}+6x-16<0 .
Uwaga: W tym zadaniu zauważyć trzeba, że po lewej stronie nierówności mamy funkcję kwadratową. Dodatkowo pamiętać należy o tym, że w przypadku nierówności kwadratowej dobrym krokiem będzie przedstawienie naszej funkcji w układzie współrzędnych.
Rozwiązanie
Krok 1. Wyznaczamy deltę (wzór znajdziemy w karcie wzorów).
Delta ={{b}^{2}}-4ac={{6}^{2}}-4cdot 1cdot left( {-16} right)=36+64=100
sqrt{Delta }=sqrt{{100}}=10
Krok 2. Obliczamy miejsca zerowe (wzory znajdziemy w karcie wzorów).
{{x}_{1}}=frac{{-b-sqrt{Delta }}}{{2a}}=frac{{-6-10}}{2}=-frac{{16}}{2}=-8
{{x}_{2}}=frac{{-b+sqrt{Delta }}}{{2a}}=-frac{{6+10}}{2}=frac{4}{2}=2
Krok 3. Rysujemy wykres funkcji. Wykresem będzie parabola skierowana ramionami do góry (bo, a>0).
Krok 4. Podanie odpowiedzi. Następnie musimy podać odpowiedź. Rozwiązaniem będzie tutaj przedział. Do wyboru mamy dwie opcje, albo zewnętrzny albo wewnętrzny przedział. Aby być pewnym, że wybierzemy odpowiedni przedział najlepiej wziąć dowolny punkt (inny niż miejsca zerowe), najlepiej 0 lub 1 i sprawdzić czy spełnia naszą nierówność. Weźmy sobie punkt 0, który leży wewnątrz paraboli.
{{0}^{2}}+6cdot 0-16<0
-16<0
Nierówność wychodzi nam prawdziwa, więc odpowiedzią będzie zbiór, w którym znajduje się 0, czyli przedział wewnętrzny.
Uwaga: Należy pamiętać, aby uwzględnić czy punkty skrajne (u nas -8 i 2) należą do rozwiązania czy nie. Jeśli w nierówności były znaki < lub > to wtedy punkty skrajne nie wchodzą do rozwiązania. W przypadku innych znaków (mniejsze równe lub większe równe) punkty skrajne wchodzą do rozwiązania.
Odp: xin left( {-8;2} right) .